Bài tập 22, § 8

Cho F là một ánh xạ từ $M_n(K)$ vào một tập hợp E, trong đó K là một trường giao hoán, sao cho, với mọi bộ ba ma trận $X, Y, Z$ trong $M_n(K)$,

Loại trừ trường hợp $M_2(F_2)$; khi đó hãy chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ $\Phi$ từ K vào E sao cho $F(X) = \Phi(\det(X))$. (Dùng Hệ quả của Mệnh đề 17 (no. 9), trước hết hãy chứng minh rằng, với $U \in SL_n(K)$, ta có $F(X) = F(XU)$; suy ra rằng, trong $GL_n(K)$, $F(X)$ chỉ phụ thuộc vào $\det(X)$. Mặt khác, nếu, với $r \leq n - 1$, ta viết

hãy chứng minh rằng tồn tại một ma trận $Y$ có hạng $r$ sao cho $X_{r-1} = YX_r$ và $Y = X_rY$ và suy ra rằng $F(X)$ có cùng giá trị đối với mọi ma trận có hạng $< n$.)