Exercice 24, § 8

Soient $X_i$ ($1 \leq i \leq m$) des matrices carrées de même ordre $n$ sur l’anneau commutatif A. Montrer que si $m$ est pair, on a (exerc. 23)

et si $m$ est impair (Si $\lambda$ est la permutation circulaire $(1\ 2\ \ldots\ m)$, C le sous-groupe cyclique de $S_m$ engendré par $\lambda$ et H le sous-groupe de $S_m$ formé des permutations laissant $m$ invariant, remarquer que toute permutation de $S_m$ s’écrit d’une seule manière $\sigma\tau$ avec $\sigma \in H$ et $\tau \in C$; puis utiliser le fait que la trace d’un produit de matrices est invariante par permutation circulaire des facteurs.)