Bài tập 24, § 8

Cho $X_i$ ($1 \leq i \leq m$) là các ma trận vuông cùng cấp $n$ trên vành giao hoán A. Chứng minh rằng nếu $m$ chẵn thì (Bài tập 23)

và nếu $m$ lẻ

(Nếu $\lambda$ là phép hoán vị tuần hoàn $(1, 2, \ldots, m)$, $C$ là nhóm con cyclic của $S_m$ sinh bởi $\lambda$ và $H$ là nhóm con của $S_m$ gồm các phép hoán vị để $m$ bất biến, thì chú ý rằng mọi phép hoán vị trong $S_m$ đều có thể được viết duy nhất dưới dạng $\sigma \tau$ với $\sigma \in H$ và $\tau \in C$; rồi dùng tính chất rằng vết của một tích các ma trận là bất biến dưới phép hoán vị tuần hoàn của các thừa số.)