Exercice 25, § 8

Soit $A$ un anneau commutatif contenant le corps $\mathbf{Q}$ des nombres rationnels, et soit $X$ une matrice carrée d’ordre pair $2n \geq 2$ sur $A$. Soient $L$ la partie $\{1, 2, \ldots, n+1\}$ de $\{1, 2, \ldots, 2n\}$, $L'$ son complémentaire. Démontrer la formule suivante (« identité de Rédei »):

(*)

où $H$ parcourt l’ensemble des parties de $n$ éléments de $\{1, 2, \ldots, 2n\}$ contenant $1$, $K$ l’ensemble des parties de $n$ éléments de $L$ et $r = \mathrm{Card}(H \cap L')$. (Evaluer le coefficient d’un terme $x_{\sigma(1),1} x_{\sigma(2),2} \cdots x_{\sigma(2n),2n}$ dans le second membre de (*), pour une permutation quelconque $\sigma \in \mathfrak{S}_{2n}$, en notant que ce coefficient ne peut être $\neq 0$ que si $H = \sigma(K)$; on montrera qu’il ne peut être $\neq 0$ que si $\sigma(L) = L.$)