Bài tập 25, § 8

Cho $A$ là một vành giao hoán chứa trường $\mathbf{Q}$ các số hữu tỉ và $X$ là một ma trận vuông cấp chẵn $2n \geq 2$ trên $A$. Gọi $L$ là tập con $\{1, 2, \ldots, n+1\}$ của $\{1, 2, \ldots, 2n\}$ và $L'$ là phần bù của nó. Hãy chứng minh công thức sau ("đẳng thức Redei"):

(*)

trong đó $H$ chạy qua tập hợp các tập con có $n$ phần tử của $\{1, 2, \ldots, 2n\}$ chứa 1 và $K$ chạy qua tập hợp các tập con có $n$ phần tử của $L$, và $r = \operatorname{Card}(H \cap L')$. (Hãy tính hệ số của một số hạng $x_{\sigma(1), 1} x_{\sigma(2), 2} \ldots x_{\sigma(2n), 2n}$ ở vế phải của (*) đối với một phép hoán vị tùy ý $\sigma \in S_{2n}$, bằng cách lưu ý rằng hệ số này chỉ có thể $\neq 0$ nếu $H = \sigma(K)$; hãy chứng minh rằng nó chỉ có thể $\neq 0$ nếu $\sigma(L) = L$.)