Exercice 3, § 8

Algèbre, III, p. 191

Démontrer l’identité

\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & \alpha_{13} & \alpha_{14} & \ldots & \alpha_{1n} \\ \lambda_1 x_2 & x_2 & y_2 & \alpha_{24} & \ldots & \alpha_{2n} \\ \lambda_1 \lambda_2 x_3 & \lambda_2 x_3 & x_3 & y_3 & \ldots & \alpha_{3n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_{n-1} x_n & \lambda_2 \ldots \lambda_{n-1} x_n & \lambda_3 \ldots \lambda_{n-1} x_n & \lambda_4 \ldots \lambda_{n-1} x_n & \ldots & x_n \end{vmatrix} = (x_1 - \lambda_1 y_1)(x_2 - \lambda_2 y_2) \ldots (x_{n-1} - \lambda_{n-1} y_{n-1}) x_n.

En déduire les identités suivantes:

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ b_1 & a_1 & a_1 & \ldots & a_1 \\ b_1 & b_2 & a_2 & \ldots & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & a_n \end{vmatrix} = (a_1 - b_1)(a_2 - b_2) \ldots (a_n - b_n)

\begin{vmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 & \ldots & a_1 b_n \\ a_1 b_2 & a_2 b_2 & a_2 b_3 & \ldots & a_2 b_n \\ a_1 b_3 & a_2 b_3 & a_3 b_3 & \ldots & a_3 b_n \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_1 b_n & a_2 b_n & a_3 b_n & \ldots & a_n b_n \end{vmatrix} = a_1 b_n (a_2 b_1 - a_1 b_2) \ldots (a_n b_{n-1} - a_{n-1} b_n)

\begin{vmatrix} a_2 a_3 \ldots a_n & a_3 a_4 \ldots a_n b_1 & a_4 \ldots a_n b_1 b_2 & \ldots & b_1 b_2 b_3 \ldots b_{n-1} \\ b_2 b_3 \ldots b_n & a_3 a_4 \ldots a_n a_1 & a_4 \ldots a_n a_1 b_2 & \ldots & a_1 b_2 b_3 \ldots b_{n-1} \\ a_2 b_3 \ldots b_n & b_3 b_4 \ldots b_n b_1 & a_4 \ldots a_n a_1 a_2 & \ldots & a_1 a_2 b_3 \ldots b_{n-1} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_2 a_3 \ldots b_n & a_3 a_4 \ldots b_n b_1 & a_4 \ldots b_n b_1 b_2 & \ldots & a_1 a_2 a_3 \ldots a_{n-1} \end{vmatrix} = (a_1 a_2 \ldots a_n - b_1 b_2 \ldots b_n)^{n-1}.

\begin{vmatrix} x & a_1 & a_2 & \ldots & a_{n-1} & 1 \\ a_1 & x & a_2 & \ldots & a_{n-1} & 1 \\ a_1 & a_2 & x & \ldots & a_{n-1} & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \ldots & x & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \ldots & a_n & 1 \end{vmatrix} = (x - a_1)(x - a_2) \ldots (x - a_n)

\begin{vmatrix} x & a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ a_1 & x & a_2 & \ldots & a_n \\ a_1 & a_2 & x & \ldots & a_n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \ldots & x \end{vmatrix} = (x + a_1 + a_2 + \cdots + a_n)(x - a_1)(x - a_2) \ldots (x - a_n)

(ramener ce dernier déterminant au précédent).

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.