Bourbaki

Bài tập 3, § 8

Đại số, III

Chứng minh đẳng thức

∣x1y1α13α14⋯α1nλ1x2x2y2α24⋯α2nλ1λ2x3λ2x3x3y3⋯α3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯λ1λ2⋯λn−1xnλ2⋯λn−1xnλ3⋯λn−1xnλ4⋯λn−1xn⋯xn∣=(x1−λ1y1)(x2−λ2y2)⋯(xn−1−λn−1yn−1)xn. \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & \alpha_{13} & \alpha_{14} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \lambda_1 x_2 & x_2 & y_2 & \alpha_{24} & \cdots & \alpha_{2n} \\ \lambda_1 \lambda_2 x_3 & \lambda_2 x_3 & x_3 & y_3 & \cdots & \alpha_{3n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1} x_n & \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1} x_n & \lambda_3 \cdots \lambda_{n-1} x_n & \lambda_4 \cdots \lambda_{n-1} x_n & \cdots & x_n \end{vmatrix} = (x_1 - \lambda_1 y_1)(x_2 - \lambda_2 y_2)\cdots(x_{n-1} - \lambda_{n-1} y_{n-1})x_n.

Suy ra các đẳng thức sau:

∣111⋯1b1a1a1⋯a1b1b2a2⋯a2⋯⋯⋯⋯⋯b1b2b3⋯an∣=(a1−b1)(a2−b2)⋯(an−bn) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ b_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\ b_1 & b_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_1 & b_2 & b_3 & \cdots & a_n \end{vmatrix} = (a_1 - b_1)(a_2 - b_2)\cdots(a_n - b_n)

∣a1b1a1b2a1b3⋯a1bna1b2a2b2a2b3⋯a2bna1b3a2b3a3b3⋯a3bn⋯⋯⋯⋯⋯a1bna2bna3bn⋯anbn∣=a1bn(a2b1−a1b2)⋯(anbn−1−an−1bn) \begin{vmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 & \cdots & a_1 b_n \\ a_1 b_2 & a_2 b_2 & a_2 b_3 & \cdots & a_2 b_n \\ a_1 b_3 & a_2 b_3 & a_3 b_3 & \cdots & a_3 b_n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_1 b_n & a_2 b_n & a_3 b_n & \cdots & a_n b_n \end{vmatrix} = a_1 b_n (a_2 b_1 - a_1 b_2) \cdots (a_n b_{n-1} - a_{n-1} b_n)
∣a2a3…ana3a4…anb1a4…anb1b2⋯b1b2b3…bn−1b2b3…bna3a4…ana1a4…ana1b2⋯a1b2b3…bn−1a2b3…bnb3b4…bnb1a4…ana1a2⋯a1a2b3…bn−1⋯⋯⋯⋯⋯a2a3…bna3a4…bnb1a4…bnb1b2⋯a1a2a3…an−1∣=(a1a2…an−b1b2…bn)n−1. \begin{vmatrix} a_2 a_3 \ldots a_n & a_3 a_4 \ldots a_n b_1 & a_4 \ldots a_n b_1 b_2 & \cdots & b_1 b_2 b_3 \ldots b_{n-1} \\ b_2 b_3 \ldots b_n & a_3 a_4 \ldots a_n a_1 & a_4 \ldots a_n a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_2 b_3 \ldots b_{n-1} \\ a_2 b_3 \ldots b_n & b_3 b_4 \ldots b_n b_1 & a_4 \ldots a_n a_1 a_2 & \cdots & a_1 a_2 b_3 \ldots b_{n-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_2 a_3 \ldots b_n & a_3 a_4 \ldots b_n b_1 & a_4 \ldots b_n b_1 b_2 & \cdots & a_1 a_2 a_3 \ldots a_{n-1} \end{vmatrix} = (a_1 a_2 \ldots a_n - b_1 b_2 \ldots b_n)^{n-1}.
∣xa1a2⋯an−11a1xa2⋯an−11a1a2x⋯an−11⋯⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3⋯x1a1a2a3⋯an1∣=(x−a1)(x−a2)⋯(x−an) \begin{vmatrix} x & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ a_1 & x & a_2 & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ a_1 & a_2 & x & \cdots & a_{n-1} & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & x & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n & 1 \end{vmatrix} = (x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_n)

∣xa1a2⋯ana1xa2⋯ana1a2x⋯an⋯⋯⋯⋯⋯a1a2a3⋯x∣=(x+a1+a2+⋯+an)(x−a1)(x−a2)⋯(x−an) \begin{vmatrix} x & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2 & x & \cdots & a_n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & x \end{vmatrix} = (x + a_1 + a_2 + \cdots + a_n)(x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_n)
(rút gọn định thức cuối cùng về định thức đứng ngay trước nó).

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Bản dịch máy từ tiếng Anh, bởi gpt-5.4. Chưa được người kiểm tra.