Exercice 3, § 1

a) Dans l’algèbre $A[X]$ des polynômes en une indéterminée sur $A$, l’application $(u, v) \mapsto u(v)$ est une loi de composition interne ; montrer que cette loi est associative et distributive à gauche par rapport à l’addition et à la multiplication dans $A[X]$. b) Si $A$ est intègre, montrer que la relation $u(v) = 0$ entraîne que $u = 0$ ou que $v$ est constant, et que si $u \neq 0$ et $\deg v > 0$, le degré de $u(v)$ est égal au produit des degrés de $u$ et de $v$. c) On suppose désormais que $A$ est un corps. Soient $u$ et $v$ deux polynômes de degré $> 0$ dans $A[X]$, $f$ un polynôme de degré $> 0$ ; montrer que si $q$ est le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $u$ par $v$, $q(f)$ et $r(f)$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $u(f)$ par $v(f)$. d) Pour tout polynôme $f$ de $A[X]$, on désigne par $I(f)$ l’ensemble des polynômes de la forme $u(f)$, où $u$ parcourt $A[X]$ ; c’est un sous-anneau de $A[X]$. Pour que $I(f) = I(g)$, il faut et il suffit que $g = \lambda f + \mu$, où $\lambda \neq 0$ et $\mu$ sont dans $A$. e) Soient $f$ et $g$ deux polynômes de degré $> 0$ dans $A[X]$ ; montrer que $I(f) \cap I(g)$ est identique à $A$, ou est de la forme $I(h)$, où $h$ est un polynôme de degré $> 0$ (écartant la première éventualité, considérer dans $I(f) \cap I(g)$ un polynôme $h$ de plus petit degré $> 0$ possible).