Bài tập 3, § 1

a) Trong đại số $A[X]$ của các đa thức theo một bất định trên A, ánh xạ $(u, v) \mapsto u(v)$ là một luật hợp thành nội; hãy chứng minh rằng luật này là kết hợp và phân phối bên trái đối với phép cộng và phép nhân trong $A[X]$. b) Nếu $A$ là một miền nguyên, hãy chứng minh rằng quan hệ $u(v) = 0$ kéo theo $u = 0$ hoặc $v$ là hằng, và rằng khi $u \neq 0$ và $\deg v > 0$, bậc của $u(v)$ bằng tích các bậc của $u$ và $v$. c) Từ nay giả sử rằng $A$ là một trường. Cho u và v là hai đa thức có bậc $> 0$ trong $A[X]$ và f là một đa thức có bậc $> 0$; hãy chứng minh rằng nếu q là thương và r là số dư trong phép chia Euclid của u cho v, thì $q(f)$ và $r(f)$ là thương và số dư trong phép chia Euclid của $u(f)$ cho $v(f)$. d) Với mỗi đa thức f của $A[X]$, ký hiệu I(f) là tập hợp tất cả các đa thức có dạng $u(f)$, trong đó u chạy trên $A[X]$; đây là một vành con của $A[X]$. Để có $I(f) = I(g)$ thì điều kiện cần và đủ là $g = \lambda f + \mu$, trong đó $\lambda \neq 0$ và $\mu$ thuộc A. e) Cho f và g là hai đa thức có bậc $> 0$ trong $A[X]$; hãy chứng minh rằng $I(f) \cap I(g)$ hoặc bằng A hoặc có dạng $I(h)$, trong đó h là một đa thức có bậc $> 0$ (loại trừ khả năng thứ nhất, xét trong $I(f) \cap I(g)$ một đa thức h có bậc $> 0$ nhỏ nhất có thể).