Exercice 4, § 1

a) On suppose que, pour tout $n \in \mathbf{Z}$ non nul, la relation $n\xi = 0$ entraîne $\xi = 0$ dans $A$. Montrer que l’application $f \mapsto f(D_1, ..., D_n)$ est un homomorphisme injectif de l’algèbre de polynômes $A[X_1, ..., X_n] = E$ dans l’algèbre (sur $A$) des endomorphismes du $A$-module $E$ (raisonner par récurrence sur $n$). b) Soit $m$ un entier $\geqslant 1$ tel que $m.1 = 0$ dans $A$. Montrer que l’on a $D_i^m = 0$ pour toute dérivation partielle $D_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) dans $A[X_1, ..., X_n]$.