Exercice 6, § 1

Soient $K$ un corps commutatif, $I$ un ensemble, et $L$ l’algèbre associative libre de l’ensemble $I$ sur l’anneau $K$ (III, p. 21, déf. 2), munie de la graduation définie en III, p. 31. On définit le degré d’un élément de $L$, et la notion d’élément homogène, comme en IV, p. 2. a) Montrer que $\deg(uv) = \deg(u) + \deg(v)$ et $\deg(u + v) \leqslant \sup(\deg(u), \deg(v))$ pour $u, v \in L$. b) Soient $u, v, q, q' \in L$, tels que $\deg(u) \geqslant \deg(v)$ et $\deg(qu - q'v) < \deg(qu)$; montrer qu’il existe $q'' \in L$ tel que $\deg(u - q''v) < \deg(u)$. c) Soient $u, v, q, q' \in L$ avec $\deg(u) \geqslant \deg(v) > \deg(qu - q'v)$; montrer qu’il existe $q'' \in L$ tel que $\deg(u - q''v) < \deg(v)$. d) Soient $u, v, u', v' \in L$, homogènes, et tels que $uv = u'v'$ et $\deg(v) \geqslant \deg(v') \geqslant 0$; il existe $t \in L$ tel que $u' = ut, v = tv'$. e) Soient $u, v \in L$, homogènes, tels que $uv = vu$. Il existe $w \in L, a, b \in K$, et $m, n \in \mathbf{N}$, tels que $u = aw^m, v = bw^n$. f) Soient $u, v \in L$ tels qu’il existe $a, b \in L$, non nuls, avec $au = bv$; il existe $m, d \in L$ tels que les multiples à gauche (resp. diviseurs à droite) communs à $u$ et $v$ soient les multiples à gauche (resp. diviseurs à droite) de $m$ (resp. $d$).