Bài tập 6, § 1

Cho $K$ là một trường giao hoán, $I$ là một tập hợp, và $L$ là đại số kết hợp tự do của tập hợp $I$ trên vành $K$ (III, p. 21, định nghĩa 2), được trang bị phép phân bậc được định nghĩa trong III, p. 31. Định nghĩa bậc của một phần tử của $L$, và khái niệm phần tử thuần nhất, như trong IV, p. 2. a) Chứng minh rằng $\deg(uv) = \deg(u) + \deg(v)$ và $\deg(u + v) \leqslant \sup(\deg(u), \deg(v))$ với $u, v \in L$. b) Cho $u, v, q, q' \in L$, sao cho $\deg(u) \geqslant \deg(v)$ và $\deg(qu - q'v) < \deg(qu)$; chứng minh rằng tồn tại $q'' \in L$ sao cho $\deg(u - q''v) < \deg(u)$. c) Cho $u, v, q, q' \in L$ với $\deg(u) \geqslant \deg(v) > \deg(qu - q'v)$; chứng minh rằng tồn tại $q'' \in L$ sao cho $\deg(u - q''v) < \deg(v)$. d) Cho $u, v, u', v' \in L$, thuần nhất, và sao cho $uv = u'v'$ và $\deg(v) \geqslant \deg(v') \geqslant 0$; tồn tại $t \in L$ sao cho $u' = ut, v = tv'$. e) Cho $u, v \in L$, thuần nhất, sao cho $uv = vu$. Tồn tại $w \in L, a, b \in K$, và $m, n \in \mathbf{N}$, sao cho $u = aw^m, v = bw^n$. f) Cho $u, v \in L$ sao cho tồn tại $a, b \in L$, khác không, với $au = bv$; tồn tại $m, d \in L$ sao cho các bội trái chung (tương ứng các ước phải chung) của $u$ và $v$ là các bội trái (tương ứng các ước phải) của $m$ (tương ứng $d$).