Exercice 1, § 3

Soit $E$ une algèbre associative commutative unifière sur un corps commutatif $K$; soit $x = (x_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments deux à deux permutables de $E$. Soit $U$ le sous-anneau de $K(X_i)_{i \in I}$ formé des $f \in K(X_i)_{i \in I}$ telles que $x$ soit substituable dans $f$. Montrer que si, dans $E$, l’ensemble des éléments non inversibles est un idéal, il en est de même dans $U$. Montrer qu’alors l’idéal des éléments non inversibles dans $U$ est maximal.