Exercice 2, § 3

a) Soient $K$ un corps commutatif et $u = a_m X^m + a_{m+1} X^{m+1} + \cdots + a_n X^n$ un polynôme de $K[X]$ tel que $a_m \neq 0$ et $a_n \neq 0$ ($0 \leq m \leq n$). Montrer que si $g$ est une fraction rationnelle de degré $d \neq 0$ dans $K(X)$, $u(g)$ n’est pas nulle et est de degré $nd$ si $d > 0$, de degré $md$ si $d < 0$.

b) En déduire qu'une fraction rationnelle non constante $g$ de $K(X)$ est substituable dans toute fraction rationnelle de $K(X)$ (remarquer que si $g$ est de degré 0, il existe $\alpha \in K$ tel que $g - \alpha$ soit de degré $< 0$).