Exercice 1, § 4

Algèbre, IV, p. 85

Soit $u(X) = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n X^n$ une série formelle sur un corps commutatif $K$ . a) Pour que $u$ soit une fraction rationnelle de $K(X)$ , il faut et il suffit qu'il existe une suite finie $(\lambda_i)_{1 \leq i \leq q}$ d'éléments de $K$ non tous nuls, et un entier $d \geq 0$ tels que, pour tout $n \geq d$ , on ait

\lambda_1 \alpha_n + \lambda_2 \alpha_{n+1} + \cdots + \lambda_q \alpha_{n+q-1} = 0.

b) On pose

H_n^{(k)} = \begin{pmatrix} \alpha_n & \alpha_{n+1} & \cdots & \alpha_{n+k-1} \\ \alpha_{n+1} & \alpha_{n+2} & \cdots & \alpha_{n+k} \\ \alpha_{n+2} & \alpha_{n+3} & \cdots & \alpha_{n+k+1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n+k-1} & \alpha_{n+k} & \cdots & \alpha_{n+2k-2} \end{pmatrix}

(« déterminants de Hankel »). Montrer que si $H_{d+j}^{(q+1)} = 0$ et $H_{d+j}^{(q)} \neq 0$ pour tout entier $j \geq 0$ , $u(X)$ est une fraction rationnelle (utiliser $a$ ). c) Montrer qu’on a l’identité

H_n^{(k)} H_{n+2}^{(k)} - H_n^{(k+1)} H_{n+2}^{(k-1)} = (H_{n+1}^{(k)})^2

(cf. III, p. 193, exerc. 10). En déduire que si on a $H_{m+j}^{(k+1)} = 0$ pour $0 \leq j \leq r-1$ , les $r$ déterminants $H_{m+j}^{(k)}$ , où $1 \leq j \leq r$ , sont ou tous nuls, ou tous $\neq 0$ . d) Déduire de b) et c) que, pour que $u(X)$ soit une fraction rationnelle, il faut et il suffit qu’il existe deux entiers $d$ et $q$ tels que $H_{d+j}^{(q+1)} = 0$ pour tout entier $j \geq 0$ . e) Soit $k$ un sous-corps de $K$ . Identifions $K(X)$ , $k(X)$ et $k[[X]]$ à des sous-anneaux de $K((X))$ . Prouver que $k[[X]] \cap K(X) = k[[X]] \cap k(X)$ .

Solution

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