Bài tập 1, § 4

Cho $u(X) = \sum_{n=0}^m \alpha_n X^n$ là một chuỗi lũy thừa hình thức trên một trường giao hoán $K$. a) Để $u$ là một phân thức hữu tỉ của $K(X)$ thì điều kiện cần và đủ là tồn tại một dãy hữu hạn các phần tử $(\lambda_i)_{1 \leq i \leq q}$ của $K$, không đồng thời bằng không, và một số nguyên $d \geq 0$ sao cho với mọi $n \geq d$ ta có

b) Đặt (« định thức Hankel ») hãy chứng tỏ rằng nếu $H_{d+i}^{(q+1)} = 0$ và $H_{d+i}^{(q)} \neq 0$ với mọi số nguyên $j \geq 0$, thì $u(X)$ là một phân thức hữu tỉ (dùng a)). c) Chứng minh đẳng thức (xem III, p. 639, Bài tập 10). Suy ra rằng nếu $H_{m+j}^{(k+1)} = 0$ với $0 \leq j \leq r-1$, thì $r$ định thức $H_{m+j}^{(k)}$ trong đó $1 \leq j \leq r$ hoặc đều bằng không hoặc đều khác không. d) Suy ra từ b) và c) rằng để $u(X)$ là một phân thức hữu tỉ thì điều kiện cần và đủ là tồn tại hai số nguyên $d$ và $q$ sao cho $H_{d+i}^{(q+1)} = 0$ với mọi số nguyên $j \geq 0$. e) Cho $k$ là một trường con của $K$, và đồng nhất $K(X)$, $k(X)$ và $k[[X]]$ với các vành con của $K((X))$. Chứng minh rằng $k[[X]] \cap K(X) = k[[X]] \cap k(X)$.