Exercice 2, § 4

Algèbre, IV, p. 86

Soient $a_1, a_2, \ldots, a_p$ des entiers $> 0$ ; on désigne par $\alpha_n$ le nombre des suites finies $(x_i)_{1 \leq i \leq p}$ d’entiers $\geq 0$ satisfaisant à l’équation

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_p x_p = n .

Montrer que la série formelle $\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n X^n$ (sur le corps $\mathbf{Q}$ ) est le développement de la fraction rationnelle

\frac{1}{(1-X^{a_1})(1-X^{a_2}) \cdots (1-X^{a_p})} .

Solution

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