Exercice 5, § 4

Soient $E = A[X_1, \ldots, X_p]$, $F = A[[X_1, \ldots, X_p]]$. a) Si $D$ est une $\mathbf{Z}$-dérivation de $E$ dans $F$, on a $\omega(Du) \geq \omega(u) - 1$ pour tout $u$ non nul de $E$. b) Si $D'$ est une $\mathbf{Z}$-dérivation de $F$, on a $\omega(D'v) \geq \omega(v) - 1$ pour tout $v$ non nul de $F$. c) Munissons $E$ de la topologie induite par celle de $F$. Alors $D$ et $D'$ sont continues. d) Toute $\mathbf{Z}$-dérivation de $E$ dans $F$ se prolonge d’une manière et d’une seule en une $\mathbf{Z}$-dérivation de $F$. e) Soit $\mathscr{D}$ le $F$-module des $A$-dérivations de $F$. Si $D \in \mathscr{D}$ et si $DX_i = u_i$, on a $D = \sum_{i=1}^p u_i D_i$. f) $(D_1, \ldots, D_p)$ est une base du $F$-module $\mathscr{D}$.