Bài tập 5, § 4

Cho $E = A[X_1, \ldots, X_p]$, $F = A[[X_1, \ldots, X_p]]$. a) Nếu D là một Z-đạo hàm của E vào F, thì ta có $\omega(Du) \geq \omega(u) - 1$ với mọi $u$ khác không trong E. b) Nếu $D'$ là một Z-đạo hàm của F, thì $\omega(D'v) \geq \omega(v') - 1$ với mọi $v$ khác không trong F. c) Nếu E được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô của F, thì D và $D'$ là liên tục. d) Mọi Z-đạo hàm của E vào F đều mở rộng được theo một cách duy nhất thành một Z-đạo hàm của F. e) Gọi $\mathscr{D}$ là F-môđun các A-đạo hàm của F. Nếu $D \in \mathscr{D}$ và $DX_i = u_i$, thì

f) $(D_1, \ldots, D_p)$ là một cơ sở của F-môđun $\mathscr{D}$.