Exercice 1, § 5

(Algèbre des suites de type exponentiel) Étant donnés deux entiers $p, q \in \mathbf{N}$, on note $((p, q))$ le coefficient binômial $\frac{(p + q)!}{p! q!}$. Soient $k$ un anneau commutatif et $B$ une $k$-algèbre associative commutative unifère. On appelle suite de type exponentiel d’éléments de $B$ une suite $a = (a_p)_{p \in \mathbf{N}}$ telle que $a_0 = 1_B$ et $a_p a_q = ((p, q)) a_{p+q}$ quels que soient $p, q \in \mathbf{N}$. L’ensemble des suites de type exponentiel d’éléments de $B$ est noté $\mathscr{E}(B)$. a) Vérifier qu’il existe sur $\mathscr{E}(B)$ une structure de $k$-algèbre et une seule telle que

quelles que soient les suites $a, b \in \mathscr{E}(B)$ et quels que soient $p \in \mathbf{N}$ et $\lambda \in k$. L’application $a \mapsto a_1$ est un homomorphisme de l’algèbre $\mathscr{E}(B)$ dans $B$. b) On suppose que $k$ contient un sous-anneau isomorphe à $\mathbf{Q}$. Montrer que pour tout $x \in B$, la suite $f(x)$ définie par $f(x)_p = \frac{1}{p!} x^p$ est une suite de type exponentiel. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $B$ sur $\mathscr{E}(B)$. c) Soit $B'$ une $k$-algèbre associative commutative unifère et soit $h$ un homomorphisme de $B$ dans $B'$. Pour tout $a \in \mathscr{E}(B)$, la suite $a'$ définie par $a'_p = h(a_p)$ quel que soit $p \in \mathbf{N}$ appartient à $\mathscr{E}(B')$. Montrer que l’application $\mathscr{E}(h): a \mapsto a'$ est un homomorphisme de $\mathscr{E}(B)$ dans $\mathscr{E}(B')$. Vérifier que $\mathscr{E}(g \circ h) = \mathscr{E}(g) \circ \mathscr{E}(h)$ lorsque $g$ et $h$ sont des homomorphismes composables de $k$-algèbres. d) Soit $E$ un $k$-module et soit $\mathbf{TS}(E)$ l’algèbre des tenseurs symétriques sur $E$. Montrer que pour tout $x \in E$, $(\gamma_p(x))$ est une suite de type exponentiel dans l’algèbre $\mathbf{TS}(E)$ (IV, p. 43).