Bài tập 1, § 5

(Đại số của các dãy kiểu mũ) Cho hai số nguyên $p, q \in N$, ta ký hiệu bởi $((p, q))$ hệ số nhị thức $\frac{(p+q)!}{p! q!}$. Cho k là một vành giao hoán và B là một đại số kết hợp giao hoán có đơn vị trên k. Một dãy kiểu mũ của các phần tử của B được hiểu là một dãy $a = (a_p)_{p \in \mathbf{N}}$ sao cho $a_1 = 1$, và $a_p a_q = ((p, q)) a_{p+q}$ với mọi $p, q \in N$. Tập hợp tất cả các dãy kiểu mũ của B được viết là $\mathscr{E}(B)$. a) Kiểm tra rằng trên $\mathscr{E}(B)$ tồn tại một cấu trúc đại số trên k duy nhất sao cho

với mọi dãy $a, b \in \mathscr{E}(B)$ và $p \in \mathbf{N}$, $\lambda \in k$. Ánh xạ $a \mapsto a$, là một đồng cấu của đại số $\mathscr{E}(B)$ vào B. b) Giả sử rằng $k$ chứa một vành con đẳng cấu với $\mathbf{Q}$. Chứng minh rằng với mọi $x \in B$ dãy $f(x)$ xác định bởi $f(x)_p = \frac{1}{p!} x^p$ là kiểu mũ. Chứng minh rằng $f$ là một đẳng cấu của B lên $\mathscr{E}(B)$. c) Cho $B'$ là một đại số kết hợp giao hoán có đơn vị trên $k$ và cho $h$ là một đồng cấu của B vào $B'$. Với mỗi $a \in \mathscr{E}(B)$ dãy $a'$ xác định bởi $a'_p = h(a_p)$ với mọi $p \in \mathbf{N}$ thuộc về $\mathscr{E}(B')$. Chứng minh rằng ánh xạ $\mathscr{E}(h): a \mapsto a'$ là một đồng cấu của $\mathscr{E}(B)$ vào $\mathscr{E}(B')$. Kiểm tra rằng $\mathscr{E}(g \circ h) = \mathscr{E}(g) \circ \mathscr{E}(h)$ khi $g$ và $h$ là các đồng cấu đại số trên $k$ khả hợp. d) Cho $E$ là một k-môđun và $TS(E)$ là đại số của các tenxơ đối xứng trên $E$. Chứng minh rằng với mỗi $x \in E$, $(\gamma_p(x))$ là một dãy kiểu mũ trong đại số $TS(E)$ (IV, p. 45).