Exercice 10, § 5

On désigne par $k$ un anneau commutatif et par $E$ un $k$-module. Pour tout entier $p \geqslant 0$ et toute $k$-algèbre $L$, on note $\gamma_{p,L}$ l’application de $L \otimes E$ dans $L \otimes \Gamma_p(E)$ composée de $\gamma_p : L \otimes E \to \Gamma_p(L \otimes E)$ et de l’isomorphisme canonique de $\Gamma_p(L \otimes E)$ sur $L \otimes \Gamma_p(E)$ (cf. exerc. 2 et exerc. 7).

a) Vérifier que les applications $\gamma_{p,L}$ sont une loi polynôme (exerc. 9) de $E$ dans $\Gamma_p(E)$, homogène de degré $p$. Cette loi sera dans la suite notée $\gamma_p$. Montrer que pour tout $k$-module $F$ et tout $\sigma \in \mathrm{Hom}(\Gamma_p(E), F)$, les applications $\varphi_L = (\mathrm{Id}_L \otimes \sigma) \circ \gamma_{p,L}$ sont une loi polynôme de $E$ dans $F$, homogène de degré $p$. Cette loi est appelée la loi associée à $\sigma$.

Soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de $E$ et $(a_i)_{i \in I}$ une famille à support fini d’éléments de $L$. Montrer que

où $|\xi| = \sum_i \xi(i)$, $a^\xi = \prod_i a_i^{\xi(i)}$ et $\gamma_\xi(x) = \prod_i \gamma_{\xi(i)}(x_i)$.

b) Soit $\varphi$ une loi polynôme de $E$ dans un $k$-module $F$, homogène de degré $p$. Montrer qu’il existe une application linéaire $\sigma$ de $\Gamma_p(E)$ dans $F$ et une seule telle que $\varphi$ soit la loi associée à $\sigma$. (Supposer d’abord que $E$ est libre de base $(x_i)_{i \in I}$; en s’appuyant sur l’exerc. 9, montrer que dans ce cas il existe une application $\sigma \in \mathrm{Hom}(\Gamma_p(E), F)$ et une seule telle que la relation (1) de l’exerc. 9 soit vérifiée pour toute algèbre $L$ et toute famille à support fini $(a_i)_{i \in I}$ d’éléments de $L$. Traiter le cas général en introduisant un $k$-module libre $E'$ et un homomorphisme surjectif $h : E' \to E$. La loi polynôme $\varphi$, composée avec la loi définie par $h$ est une loi polynôme de $E'$ dans $F$ qui est associée à une application linéaire $\sigma' : \Gamma_p(E') \to F$; montrer que $\sigma'$ est composée de $\Gamma_p(h)$ et d’une application $\sigma : \Gamma_p(E) \to F$ telle que $\varphi$ soit associée à $\sigma$ (cf. exerc. 2, f)).)