Bài tập 10, § 5

Ký hiệu k là một vành giao hoán và E là một K-môđun. Với mỗi số nguyên $p \geq 0$ và mọi đại số trên K L, ta ký hiệu bởi $\gamma_{p,L}$ ánh xạ từ $L \otimes E$ vào $L \otimes \Gamma_p(E)$ là hợp thành của $\gamma_p : L \otimes E \to \Gamma_p(L \otimes E)$ và đẳng cấu chính tắc từ $\Gamma_p(L \otimes E)$ lên $L \otimes \Gamma_p(E)$ (xem Bài tập 2 và 7).

a) Hãy kiểm tra rằng các ánh xạ $\gamma_{p,L}$ tạo thành một luật đa thức (Bài tập 9) từ E vào $\Gamma_p(E)$, thuần nhất bậc p; trong phần sau luật này sẽ được ký hiệu là $\gamma_p$. Hãy chỉ ra rằng với mọi K-môđun F và mọi $u \in \mathrm{Hom}(\Gamma_p(E), F)$, các ánh xạ $\varphi_L = (\mathrm{Id}_L \otimes u) \circ \gamma_{p,L}$ tạo thành một luật đa thức từ E vào F, thuần nhất bậc p. Luật này được gọi là luật liên kết với u.

Cho $(x_i)_{i \in I}$ là một họ các phần tử của E và $(a_i)_{i \in I}$ là một họ giá hữu hạn các phần tử của L. Hãy chỉ ra rằng

trong đó $|\xi| = \sum_i \xi(i)$, $a^\xi = \prod_i a_i^{\xi(i)}$ và $\gamma_\xi(x) = \prod_i \gamma_{\xi(i)}(x_i)$.

b) Cho Q là một luật đa thức từ E vào một K-môđun F, thuần nhất bậc p. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính duy nhất $\sigma$ từ $\Gamma_p(E)$ vào F sao cho Q là luật liên kết với a. (Trước hết giả sử E là tự do trên một cơ sở $(x_i)_{i \in I}$; sử dụng Bài tập 9, hãy chỉ ra rằng trong trường hợp này tồn tại một ánh xạ duy nhất $\sigma \in \mathrm{Hom}(\Gamma_p(E), F)$ sao cho Quan hệ (1) của Bài tập 9 đúng với mọi đại số L và mọi họ $(a_i)_{i \in I}$ giá hữu hạn các phần tử của L. Xét trường hợp tổng quát bằng cách đưa vào một K-môđun tự do $E'$ và một đồng cấu toàn ánh $h : E' \to E$. Luật đa thức $\varphi$, hợp thành với luật được xác định bởi h, là một luật đa thức từ $E'$ vào F, liên kết với một ánh xạ tuyến tính $\sigma' : \Gamma_p(E') \to F$; hãy chỉ ra rằng $a'$ là hợp thành của $\Gamma_p(h)$ và một ánh xạ $a : \Gamma_p(E) \to F$ sao cho Q liên kết với $\sigma$ (xem Bài tập 2, f)).