Exercice 11, § 5

Les notations sont celles de l’exerc. 10. On appelle série sur $E$ à valeurs dans $F$ une application linéaire de $\Gamma(E)$ dans $F$. Les séries sur $E$ à valeurs dans $F$ forment un $k$-module noté $S(E, F)$. Pour $n \in \mathbf{N}$, on dit que la série $\sigma \in S(E, F)$ est d’ordre $\geqslant n$ si $\mathrm{Ker}(\sigma) \supset \Gamma_p(E)$ pour tout $p < n$. On munit dans la suite $S(E, F)$ de la structure de groupe topologique ayant pour base de voisinages de 0 les $k$-modules formés par les séries d’ordre $\geqslant n$ ($n \in \mathbf{N}$).

Soit $\varphi$ une loi polynôme de $E$ dans $F$. Montrer qu’il existe une série $\sigma \in S(E, F)$ et une seule telle que : (i) pour toute $k$-algèbre $L$ et tout $u \in L \otimes E$, la famille $(\mathrm{Id}_L \otimes \sigma) \gamma_{p,L}(u)$ ($p \in \mathbf{N}$) a un support fini ; (ii) $\varphi_L(u) = \sum_p (\mathrm{Id}_L \otimes \sigma) \circ \gamma_{p,L}(u)$.

(Appliquer le résultat de l’exerc. 10, b.).) Cette série $\sigma$ est dite associée à la loi $\varphi$.