Bài tập 11, § 5

Ta giữ ký hiệu của Bài tập 10. Một ánh xạ tuyến tính từ $\Gamma(E)$ vào F sẽ được gọi là một chuỗi trên E nhận giá trị trong F. Các chuỗi trên E nhận giá trị trong F tạo thành một k-môđun ký hiệu là $S(E, F)$. Với $n \in \mathbf{N}$ ta nói rằng chuỗi $\sigma \in S(E, F)$ có cấp $\geq n$ nếu $\mathrm{Ker}(\sigma) \supset \Gamma_p(E)$ với mọi $p < n$. Trong phần sau, ta sẽ trang bị cho $S(E, F)$ cấu trúc nhóm tôpô mà cơ sở lân cận của 0 là các k-môđun gồm các chuỗi có cấp $\geq n$ ($n \in \mathbf{N}$).

Cho Q là một luật đa thức từ E vào F. Hãy chứng minh rằng tồn tại một chuỗi duy nhất $\sigma \in S(E, F)$ sao cho: (i) với mọi đại số trên K L và mọi $u \in L \otimes E$ thì họ $(\mathrm{Id}_L \otimes \sigma) \gamma_{p,L}(u)$ ($p \in \mathbf{N}$) có giá hữu hạn ; (ii) $\varphi_L(u) = \sum_p (\mathrm{Id}_L \otimes \sigma) \circ \gamma_{p,L}(u)$. (Hãy áp dụng kết quả của Bài tập 10, b)). Chuỗi này $\sigma$ được gọi là liên kết với luật Q.