Exercice 12, § 5

Soient $k$ un anneau commutatif, $E$ un $k$-module et $B$ une $k$-algèbre (non nécessairement associative). Soit $\Delta$ le coproduit de $\Gamma(E)$ (cf. exerc. 3). Quelles que soient les séries

EXERCICES

σ, σ' ∈ S(E, B), on note σ.σ' la série m • (σ ⊗ σ') • Δ, où m désigne l’application linéaire de B ⊗_k B dans B définie par le produit de B. a) Montrer que l’application (σ, σ') ↦ σ.σ' définit sur S(E, B) une structure de k-algèbre (cf. exerc. 11). Montrer que si B est associative (resp. commutative, resp. unifère) alors S(E, B) est associative (resp. commutative, resp. unifère) (cf. III, p. 141 à 147). b) On suppose que B est associative et unifère. Montrer que les éléments inversibles de S(E, B) sont les séries σ telles que σ(1) soit inversible dans B. c) On suppose que E est un k-module libre et que (e_i)_{i∈I} est une base de E. Pour tout α ∈ N^{(I)}, on pose e^{(α)} = Π γ_{α(i)}(e_i) et on note f^α la série sur E à valeurs dans k définie par f^α(e^{(β)}) = δ_{α,β} (indice de Kronecker) pour tout β ∈ N^{(I)} (cf. exerc. 8). Montrer que f^α f^β = f^{α+β} quels que soient α, β ∈ N^{(I)}. En déduire que, si I est fini, l’algèbre S(E, k) est isomorphe à l’algèbre des séries formelles k[[X_i]_{i∈I}].