Bài tập 12, § 5

Cho k là một vành giao hoán, E là một k-môđun và B là một đại số trên k (không nhất thiết kết hợp). Gọi A là đồng tích của $\Gamma(E)$ (x. Bài tập 3). Với mọi chuỗi a, $\sigma' \in S(E, B)$, ta ký hiệu bởi $\sigma . \sigma'$ chuỗi m $\circ (a \otimes a') \circ A$, trong đó m ký hiệu ánh xạ tuyến tính từ $B \otimes_k B$ vào B được xác định bởi tích trong B. a) Chứng minh rằng ánh xạ $(\sigma, \sigma') \mapsto \sigma . \sigma'$ xác định trên $S(E, B)$ một cấu trúc đại số trên k (x. Bài tập 11). Chứng minh rằng nếu B là kết hợp (tương ứng, giao hoán, có đơn vị) thì $S(E, B)$ là kết hợp (tương ứng, giao hoán, có đơn vị) (x. III, p. 578-584). b) Giả sử rằng B là kết hợp và có đơn vị. Chứng minh rằng các phần tử khả nghịch của $S(E, B)$ là các chuỗi $\sigma$ sao cho $\sigma(1)$ khả nghịch trong B. c) Giả sử E là một k-môđun tự do và $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của E. Với mỗi $a \in \mathbf{N}^{(I)}$, đặt $e^{(a)} = \Pi \gamma_{a(i)}(e_i)$ và ký hiệu bởi $f^a$ chuỗi trên E nhận giá trị trong k được xác định bởi $f^a(e^{(\beta)}) = \delta_{a,\beta}$ (chỉ số Kronecker) với mỗi $\beta \in \mathbf{N}^{(I)}$ (x. Bài tập 8). Chứng minh rằng $f^a f^\beta = f^{a + \beta}$ với mọi $a, \beta \in \mathbf{N}^{(I)}$. Suy ra rằng khi I là hữu hạn, đại số $S(E, k)$ đẳng cấu với đại số các chuỗi lũy thừa hình thức $k[[X_i]_{i \in I}]$.