Exercice 13, § 5

(Puissances divisées d’une série.) Les notations sont celles des exerc. 10 et 11. Soient E et F deux k-modules et σ une série sur E à valeurs dans F. On note σ la loi polynôme homogène de degré 1 de Γ(E) dans F définie par σ. Quels que soient les entiers p, m ∈ N, on note σ^{(p)}_m la série associée à la loi polynôme γ_p ◦ σ ◦ (γ_0 + γ_1 + ⋯ + γ_m) (cf. exerc. 10). a) Montrer que lorsque m tend vers l’infini, la suite σ^{(p)}_m converge dans S(E, Γ_p(F)) vers une série σ^{(p)}. Cette série σ^{(p)} est appelée la puissance divisée p-ième de la série σ. b) Montrer que si (x_i)_{i∈I} est une famille d’éléments de E et si η ∈ N^{(I)}, on a

où $\mathscr{P}$ est l’ensemble des applications à support fini de N^{(I)} dans N vérifiant les conditions $\sum_\alpha\xi(\alpha) = p$ et $\sum_\alpha\xi(\alpha) \alpha = \eta$ (appliquer l’exerc. 10, a)). c) Montrer que si σ, τ ∈ S(E, F), alors pour tout p ∈ N, on a (produit calculé dans l’algèbre S(E, Γ(F)), cf. exerc. 12). d) Montrer que pour tout entier p ∈ N, on a σ^p = p! σ^{(p)} où σ^p est la puissance p-ième de σ dans l’algèbre S(E, Γ(F)). e) Soient Δ_E et Δ_F respectivement les coproduits de Γ(E) et Γ(F). Montrer que pour tout p ∈ N, on a