Bài tập 13, § 5

(Lũy thừa chia của một chuỗi.) Ký hiệu như trong Bài tập 10 và 11. Cho E và F là hai k-môđun và a là một chuỗi trên E nhận giá trị trong F. Ký hiệu bởi a luật đa thức thuần nhất bậc 1 từ $\Gamma(E)$ vào F được xác định bởi a. Với mọi số nguyên p, $m \in \mathbf{N}$, ta ký hiệu bởi $\sigma_m^{(p)}$ chuỗi liên kết với luật đa thức $\gamma_p \circ a \circ (\gamma_0 + \gamma_1 + ... + \gamma_r)$ (x. Bài tập 10). a) Chứng minh rằng khi m tiến tới $\infty$, dãy $\sigma_m^{(p)}$ hội tụ trong $S(E, \Gamma_p(F))$ tới một chuỗi $\sigma^{(p)}$. Chuỗi này $\sigma^{(p)}$ được gọi là lũy thừa chia bậc p của chuỗi a.

b) Chứng minh rằng nếu $(x_i)_i$, là một họ các phần tử của E và $\eta \in \mathbf{N}^{(1)}$, thì

trong đó $\mathscr{L}$ là tập hợp tất cả các ánh xạ giá hữu hạn từ $\mathbf{N}^{(1)}$ vào $\mathbf{N}$ thỏa mãn các điều kiện $\sum \xi(a) = p$ và $\sum \xi(a) a = \eta$ (Áp dụng Bài tập 10, a)).

c) Chứng minh rằng nếu $a, \tau \in S(E, F)$, thì với mỗi $p \in \mathbf{N}$ ta có

(tích được tính trong đại số $S(E, \Gamma(E))$, x. Bài tập 12).

d) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $p \in \mathbf{N}$ ta có $\sigma^p = p! \, \sigma^{(p)}$, trong đó $\sigma^p$ là lũy thừa bậc p của a trong đại số $S(E, \Gamma(F))$.

e) Cho $A_+$ và $A_-$ là các đồng tích tương ứng trong $\Gamma(E)$ và $\Gamma(F)$. Chứng minh rằng với mọi $p \in \mathbf{N}$ ta có