Exercice 14, § 5

Les notations sont celles de l’exerc. 13. On suppose que σ ∈ S(E, F) est d’ordre ≥ 1. a) Montrer que pour tout p ∈ N, σ^{(p)} est d’ordre ≥ p. En déduire que la famille (σ^{(p)})_{p∈N} est sommable. On pose A(σ) = ∑_p σ^{(p)}. Vérifier que pour tout n ∈ N, on a

b) Montrer que si Ker(σ) ⊃ Γ_m(E) pour tout m ≠ 1, on a A(σ) = Γ(σ ◦ γ_1). c) Montrer que A(σ) est un homomorphisme de la cogèbre Γ(E) dans la cogèbre Γ(F) compatible avec les coünités (cf. exerc. 13, e)). d) Montrer que si σ, τ ∈ S(E, F) sont deux séries d’ordre ≥ 1, on a A(σ + τ) = A(σ) A(τ), le produit A(σ) A(τ) étant défini par le produit dans Γ(E) (cf. exerc. 13, c)).