Bài tập 14, § 5

Với ký hiệu như trong Bài tập 13, giả sử rằng $a \in S(E, F)$ có cấp $\geq 1$. a) Chứng minh rằng với mỗi $p \in \mathbf{N}$, $\sigma^{(p)}$ có cấp $\geq p$. Suy ra rằng họ $(\sigma^{(p)})_{p \in \mathbf{N}}$ là khả tổng. Viết $A(\sigma) = \sum_p \sigma^{(p)}$, kiểm tra rằng với mọi $n \in \mathbf{N}$,

b) Chứng minh rằng nếu $\mathrm{Ker}(a) \supset \Gamma_m(E)$ với mọi $m \neq 1$, thì $A(\sigma) = \Gamma(a \circ \gamma_1)$. c) Chứng minh rằng $A(\sigma)$ là một đồng cấu của đối đại số $\Gamma(E)$ vào đối đại số $\Gamma(F)$, tương thích với các đối đơn vị (cf. Bài tập 13, e)). d) Chứng minh rằng nếu $a, \tau \in S(E, F)$ là hai chuỗi có cấp $\geq 1$, thì $A(\sigma + \tau) = A(\sigma) A(\tau)$, trong đó tích $A(\sigma) A(\tau)$ được xác định bởi tích trong $\Gamma(E)$ (cf. Bài tập 13, c)).