Exercice 3, § 5

Soient $k$ un anneau commutatif et $E$ un $k$-module. Montrer qu’il existe un homomorphisme $\Delta$ de l’algèbre $\Gamma(E)$ (exerc. 2) dans l’algèbre $\Gamma(E) \otimes_k \Gamma(E)$ et un seul tel que

pour tout $x \in E$ et tout $p \in \mathbf{N}$. Montrer que le coproduit $\Delta$ est coassociatif, cocommutatif (III, p. 144-145) et qu’il définit sur $\Gamma(E)$ une structure de bigèbre graduée (III, p. 148). Montrer que l’homomorphisme $\varepsilon$ défini dans l’exerc. 2, c) est une coïunité.