Exercice 5, § 5

Soit $\Gamma(\mathbf{Z})$ l’algèbre gamma du $\mathbf{Z}$-module $\mathbf{Z}$ (exerc. 2). Pour tout $p \in \mathbf{N}$, on pose $\Gamma^{(p)} = \gamma_p(1)$. a) Montrer que $(\Gamma^{(p)})_{p \in \mathbf{N}}$ est une base du $\mathbf{Z}$-module $\Gamma(\mathbf{Z})$. Montrer qu’il existe un homomorphisme $\theta$ de l’algèbre $\Gamma(\mathbf{Z})$ dans l’algèbre $\Gamma(\mathbf{Z}) \otimes \Gamma(\mathbf{Z})$ et un seul tel que

quel que soit $p \in \mathbf{N}$. b) Soit $B$ un anneau commutatif et soit $H$ l’ensemble des homomorphismes de l’anneau $\Gamma(\mathbf{Z})$ dans l’anneau $B$. Montrer que pour tout $f \in H$, la suite $f(\Gamma^{(p)}), \; p \in \mathbf{N}$, est une suite de type exponentiel d’éléments de $B$. Montrer que l’application $\varphi : f \mapsto (f(\Gamma^{(p)}))_{p \in \mathbf{N}}$ est une bijection de $H$ sur $\mathscr{E}(B)$ (exerc. 1). c) Pour $f, g \in H$, on note $f * g$ l’homomorphisme de $\Gamma(\mathbf{Z}) \otimes \Gamma(\mathbf{Z})$ dans $B$ défini par $(f * g)(u \otimes v) = f(u) g(v)$ quels que soient $u, v \in \Gamma(\mathbf{Z})$. Vérifier que quels que soient $f, g \in H$, on a