Bài tập 5, § 5

Cho Γ(Z) là đại số gamma của Z-môđun Z (Bài tập 2). Với mỗi p ∈ N đặt T^{(p)} = γ_p(1). a) Chứng minh rằng (T^{(p)})_{p ∈ N} là một cơ sở của Z-môđun Γ(Z). Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu duy nhất θ của đại số Γ(Z) vào đại số Γ(Z) ⊗ Γ(Z) sao cho

với mọi p ∈ N. b) Cho B là một vành giao hoán và H là tập hợp các đồng cấu của vành Γ(Z) vào vành B. Chứng minh rằng với mọi f ∈ H, dãy f(T^{(p)}), p ∈ N là một dãy kiểu mũ gồm các phần tử của B. Chứng minh rằng ánh xạ φ : f ↦ (f(T^{(p)}))_{p ∈ N} là một song ánh từ H lên $\mathscr{D}(B)$ (Bài tập 1). c) Với f, g ∈ H ký hiệu bởi f \* g đồng cấu của Γ(Z) ⊗ Γ(Z) vào B được xác định bởi (f \* g)(u ⊗ v) = f(u)g(v) với mọi u, v ∈ Γ(Z). Hãy kiểm tra rằng với mọi f, g ∈ H ta có