Exercice 6, § 5

Soit $n$ un entier $> 0$ et soit $\Gamma(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})$ l’algèbre gamma du $\mathbf{Z}$-module $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ (exerc. 2). Montrer que pour tout $p > 0$, $\Gamma_p(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})$ est isomorphe au quotient de $\mathbf{Z}$ par le sous-groupe engendré par les entiers $n^k((k, p - k))$, où $1 \leq k \leq p$. Montrer que si $p$ et $n$ sont premiers et distincts, $\Gamma_p(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})$ est cyclique d’ordre $n$. Montrer que si $n$ est pair, $\Gamma_2(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})$ est cyclique d’ordre $2n$.