Exercice 7, § 5

(Extension des scalaires) Soient $k$ un anneau commutatif, $L$ une $k$-algèbre associative commutative unifière et $E$ un $k$-module.

EXERCICES

a) Soit $\Gamma(L \otimes_k E)$ l’algèbre gamma du L-module $L \otimes_k E$ (exerc. 2). Montrer qu’il existe un homomorphisme $\theta$ et un seul de $L \otimes_k \Gamma(E)$ dans $\Gamma(L \otimes_k E)$ qui est compatible avec les structures d’algèbres sur L et tel que

pour tout $x \in E$ et tout $p \in \mathbf{N}$.

b) Montrer que $\theta$ est un isomorphisme de bigèbres graduées sur L.