Exercice 9, § 5

(Lois polynômes) On désigne par E et F deux modules sur l’anneau commutatif $k$. On appelle loi polynôme de E dans F la donnée, pour toute $k$-algèbre (associative, commutative et unifère) L d’une application $\varphi_L$ de $L \otimes_k E$ dans $L \otimes_k F$, ces applications vérifiant la condition :

Si L et R sont deux $k$-algèbres et si $f$ est un homomorphisme unifère de L dans R, alors

a) Soit $\varphi$ une loi polynôme de E dans F. Soit $L = k[(T_i)_{i \in I}]$ l’algèbre des polynômes par rapport à la famille d’indéterminées $T_i$ à coefficients dans $k$ et soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille à support fini d’éléments de E. Montrer qu’il existe une famille à support fini $(y_\xi)_{\xi \in \mathbf{N}^{(I)}}$ d’éléments de F et une seule telle que

Montrer que si R est une algèbre sur $k$, pour toute famille $(a_i)_{i \in I}$ d’éléments de R, on a

b) Une famille $(\varphi^j)_{j \in J}$ de lois polynômes de E dans F est dite sommable si pour toute algèbre L sur $k$ et tout $u \in L \otimes E$, la famille $\varphi^j_L(u)$ a un support fini. Montrer que si $(\varphi^j)_{j \in J}$ est une famille sommable de lois polynômes de E dans F, il existe une loi polynôme $\varphi$ de E dans F et une seule telle que, pour toute $k$-algèbre L et tout $u \in L \otimes E$, on ait $\sum_j \varphi^j_L(u) = \varphi_L(u)$.

Cette loi polynôme est appelée la somme des lois $\varphi^j$ et se note $\sum_j \varphi^j$.

c) Soient E, F, G trois $k$-modules, $\varphi$ une loi polynôme de E dans F et $\psi$ une loi polynôme de F dans G. Montrer qu’il existe une loi polynôme $\eta$ de E dans G et une seule telle que, pour toute $k$-algèbre L, on ait $\eta_L = \psi_L \circ \varphi_L$. Cette loi $\eta$ est appelée la loi composée de $\varphi$ et $\psi$; elle se note $\psi \circ \varphi$.

d) Soit $p$ un entier $\geqslant 0$. Une loi polynôme $\varphi$ de $E$ dans $F$ est dite homogène de degré $p$ si, pour toute algèbre $L$ sur $k$, on a $\varphi_L(au) = a^p \varphi_L(u)$ quels que soient $a \in L$ et $u \in L \otimes E$. Montrer que si $\varphi$ est homogène de degré $p$, alors dans la formule (1), on a $y_{\xi} = 0$ pour $|\xi| = \sum_i \xi(i) \neq p$. Déterminer les lois polynômes homogènes de degrés 0 et 1.

e) Les notations étant celles de c), montrer que si $\varphi$ et $\psi$ sont des lois homogènes de degrés respectifs $p$ et $q$, alors $\psi \circ \varphi$ est une loi homogène de degré $pq$.

f) Soit $p$ un entier $\geqslant 0$. Pour toute $k$-algèbre commutative $L$, on note $\varepsilon_L$ l’injection $a \mapsto aT$ de $L$ dans l’algèbre de polynômes $L[T]$ et $\beta_L^p$ l’homomorphisme du $L$-module $L[T]$ dans $L$ qui associe à tout élément $\sum_k a_k T^k \in L[T]$ le coefficient $a_p$. Soit $\varphi$ une loi polynôme de $E$ dans $F$. Montrer que les applications $\varphi_L^p = (\beta_L^p \otimes \mathrm{Id}_F) \circ \varphi_{L[T]} \circ (\varepsilon_L \otimes \mathrm{Id}_E)$ forment une loi polynôme de $E$ dans $F$, homogène de degré $p$. Cette loi polynôme est appelée la composante homogène de degré $p$ de la loi $\varphi$. Montrer que les composantes homogènes de $\varphi$ forment une famille sommable ayant pour somme $\varphi$.