Bài tập 9, § 5

(Các luật đa thức) Ký hiệu E và F là hai môđun trên vành giao hoán k. Một luật đa thức từ E vào F được hiểu là, với mỗi đại số trên K L (kết hợp, giao hoán và có đơn vị), một ánh xạ $\varphi_L$ từ $L \otimes_k E$ vào $L \otimes_k F$ thỏa mãn điều kiện: Nếu L và R là hai đại số trên K và f là một đồng cấu đơn vị từ L vào R, thì

a) Cho Q là một luật đa thức từ E vào F, đặt $L = k[(T_i)_{i \in I}]$ là đại số đa thức theo một họ các bất định $T_i$ trên k và cho $(x_i)_{i \in I}$ là một họ có giá hữu hạn các phần tử của E. Hãy chứng minh rằng tồn tại một họ duy nhất có giá hữu hạn $(y_\xi)_{\xi \in \mathbf{N}^{(I)}}$ các phần tử của F sao cho Hãy chứng minh rằng nếu R là một đại số trên k, thì với mọi họ $(a_i)_{i \in I}$ các phần tử của R ta có

b) Một họ $(\varphi^j)_{j \in J}$ các luật đa thức từ E vào F được gọi là khả tổng nếu với mọi đại số L trên k và mọi $u \in L \otimes E$, họ $\varphi^j_L(u)$ có giá hữu hạn. Hãy chứng minh rằng nếu $(\varphi^j)_{j \in J}$ là một họ khả tổng các luật đa thức từ E vào F, thì tồn tại một luật đa thức duy nhất Q từ E vào F sao cho với mọi đại số trên K L và mọi $u \in L \otimes E$ ta có $\sum_i \varphi^i_L(u) = \varphi_L(u)$. Luật đa thức này được gọi là tổng của các luật $\varphi^j$ và được ký hiệu bởi $\sum_j \varphi^j$.

c) Cho E, F, G là ba k-môđun, $\varphi$ là một luật đa thức từ E vào F và $\psi$ là một luật đa thức từ F vào G. Hãy chứng minh rằng tồn tại một luật đa thức duy nhất $\eta$ từ E vào G sao cho với mọi đại số trên K L ta có $\eta_L = \psi_L \circ \varphi_L$. Luật $\eta$ này được gọi là hợp thành của Q và $\psi$ và được ký hiệu bởi $\psi \circ Q$.

d) Cho p là một số nguyên $\geq 0$. Một luật đa thức Q từ E vào F được gọi là thuần nhất bậc $p$ nếu với mọi đại số L trên k ta có $\varphi_L(au) = a^p \varphi_L(u)$ với mọi $a \in L$ và $u \in L \otimes E$. Hãy chứng minh rằng nếu Q là thuần nhất bậc p, thì trong công thức (1) ta có $y_\xi = 0$ với $|\xi| = \sum_i \xi(i) \neq p$. Hãy xác định tất cả các luật đa thức thuần nhất bậc 0 và 1.

e) Với cùng ký hiệu như trong c), hãy chứng minh rằng nếu Q và $\psi$ lần lượt là các luật thuần nhất bậc p và q, thì $\psi \circ Q$ là một luật thuần nhất bậc $pq$.

f) Cho p là một số nguyên $\geq 0$. Với mỗi đại số giao hoán trên K L ta ký hiệu bởi $\varepsilon_L$ đơn ánh $a \mapsto aT$ từ L vào đại số đa thức $L[T]$ và bởi $\beta_L^p$ đồng cấu của L-môđun $L[T]$ vào L gán cho mỗi phần tử $\sum_k a_k T^k \in L[T]$ hệ số $a_p$. Cho Q là một luật đa thức từ E vào F. Hãy chứng minh rằng các ánh xạ $\varphi_L^p = (\beta_L^p \otimes \mathrm{Id}_L) \circ \varphi_{L[T]} \circ (\varepsilon_L \otimes \mathrm{Id}_L)$ tạo thành một luật đa thức từ E vào F, thuần nhất bậc p. Luật đa thức này được gọi là thành phần thuần nhất bậc $p$ của luật Q. Hãy chứng minh rằng các thành phần thuần nhất của Q tạo thành một họ khả tổng có tổng bằng $\varphi$.