Exercice 11, § 6

Dans cet exercice, on suppose que $A$ est un corps, que $f(0) \neq 0$ et que $\deg(g) < \deg(f) = p$. Soit $\sum \alpha_n X^n$ le développement en série formelle de la fraction rationnelle $g(X)/f(X)$; pour tout entier $k \geq 0$, soit $H_0^{(k)}$ le déterminant de Hankel défini dans l’exerc. 1 de IV, p. 85. a) Montrer que $H_0^{(k)} = 0$ pour $k > p$, et calculer $H_0^{(p)}$ en fonction de $\operatorname{res}(f, g)$. b) A quelle condition a-t-on $H_0^{(p)} = H_0^{(p-1)} = \cdots = H_0^{(p-r+1)} = 0$?