Exercice 14, § 6

Soit $L$ un ensemble ordonné fini et soit $A$ un anneau commutatif. Dans l’anneau $M$ des matrices carrées sur $A$, ayant $L$ comme ensemble d’indices, l’ensemble des matrices $m = (m_{uv})$ telles que $m_{uv} = 0$ sauf si $u \leq v$, est un sous-anneau $B$. a) Un élément $m = (m_{uv})$ de $B$ est inversible dans $B$ si et seulement si $m_{uu}$ est inversible dans $A$ pour tout $u \in L$. b) Supposons désormais que $A$ soit égal à $\mathbf{Z}$. Soit $\zeta$ l’élément de $B$ défini par $\zeta(u, v) = 1$ si $u \leq v$ et $\zeta(u, v) = 0$ sinon. Montrer que $\zeta$ a un inverse $\mu$ (noté aussi $\mu_L$) dans $B$ (appelé la fonction de Möbius de $L$). Soient $f$ et $g$ deux applications de $L$ dans $\mathbf{Z}$. Montrer que les relations « $f(x) = \sum_{y \geq x} g(y)$ pour tout $x \in L$ » et « $g(x) = \sum_{y \geq x} \mu(x, y) f(y)$ pour tout $x \in L$ » sont équivalentes. c) Supposons que $L$ soit le produit d’une famille finie d’ensembles ordonnés $L_1, \ldots, L_n$.

Montrer qu’on a $\mu_L(x, y) = \prod_{i=1}^n \mu_{L_i}(x_i, y_i)$ pour $x = (x_1, ..., x_n)$ et $y = (y_1, ..., y_n)$ tels que $x \leq y$.

d) Soit $m \geq 1$ un entier et soit $D$ l’ensemble des diviseurs de $m$, muni de la relation d’ordre « $x$ divise $y$ ». Montrer que l’on a $\mu_D(x, y) = (-1)^s$ où $s$ est le cardinal de l’ensemble des nombres premiers $p$ divisant $y/x$, lorsque $y/x$ n’est pas divisible par le carré d’un entier, et $\mu_D(x, y) = 0$ sinon. (On pourra se ramener au cas où $m$ est une puissance d’un nombre premier, par application de c.)

e) Supposons que l’ensemble ordonné $L$ soit réticulé. Soient $a, b, c$ des éléments distincts de $L$ tels que $a \leq b \leq c$. Soient $\Phi$ l’ensemble des $x \in L$ tels que $a \leq x$ et $\sup(x, b) = c$ et $\Psi$ l’ensemble analogue défini par $y \leq c$ et $\inf(y, b) = a$. Montrer que l’on a la relation $\sum_{x \in \Phi} \mu(a, x) = \sum_{y \in \Psi} \mu(y, c) = 0$.

f) Soit $T$ un ensemble fini et soit $\mathscr{R}(T)$ l’ensemble des relations d’équivalence dans $T$, ordonné par la relation « $R$ est plus fine que $S$ », notée $R \leq S$. Montrer que $\mathscr{R}(T)$ est réticulé. Soient $R$ et $S$ dans $\mathscr{R}$ tels que $R \leq S$; soient $U_1, ..., U_k$ les classes d’équivalence suivant $S$, et pour $1 \leq i \leq k$, soit $\alpha_i$ le nombre de classes d’équivalence suivant $R$ contenues dans $U_i$. Montrer que l’on a $\mu_{\mathscr{R}(T)}(R, S) = \prod_{i=1}^k (-1)^{\alpha_i - 1} (\alpha_i - 1)!$ (si $A_i$ est l’ensemble des classes d’équivalence suivant $R$ contenues dans $U_i$, remarquer que l’intervalle $[R, S]$ de $\mathscr{R}(T)$ est isomorphe à $\mathscr{R}(A_1) \times \cdots \times \mathscr{R}(A_k)$, appliquer c) et se ramener au cas où $R$ est le plus petit élément de $\mathscr{R}(T)$ et $S$ le plus grand ; traiter ce dernier cas au moyen de e)).