Bài tập 14, § 6

Cho $L$ là một tập hợp có thứ tự hữu hạn và $A$ là một vành giao hoán. Trong vành $M$ các ma trận vuông trên $A$ với tập chỉ số $L$, tập hợp các ma trận $m = (m_{uv})$ sao cho $m_{uu} = 0$ trừ khi $u \leq v$ là một vành con $B$.

a) Một phần tử $m = (m_{uv})$ của $B$ khả nghịch trong $B$ khi và chỉ khi $m_{uu}$ khả nghịch trong $A$ với mọi $u \in L$.

b) Từ đây giả sử rằng $A = \mathbf{Z}$. Gọi $\zeta$ là phần tử của $B$ được xác định bởi $\zeta(u, v) = 1$ nếu $u \leq v$ và $\zeta(u, v) = 0$ trong các trường hợp khác. Chứng minh rằng $S$ có một nghịch đảo $\mu$ (cũng được viết là $\mu_L$) trong $B$ (được gọi là hàm Mobius của $L$). Gọi $f$ và $g$ là hai ánh xạ từ $L$ vào $\mathbf{Z}$. Chứng minh rằng các quan hệ

và là tương đương.

c) Giả sử rằng $L$ là tích của một họ hữu hạn các tập hợp có thứ tự $L_1, \ldots, L_r$. Chứng minh rằng

với $x = (x_1, \ldots, x_r)$ và $y = (y_1, \ldots, y_r)$ sao cho $x \leq y$.

d) Gọi $m \geq 1$ là một số nguyên và gọi $D$ là tập hợp các ước của $m$, được trang bị quan hệ thứ tự « $x$ chia hết $y$ ». Chứng minh rằng $\mu_D(x, y) = (-1)^s$ trong đó $s$ là lực lượng của tập hợp các số nguyên tố $p$ chia $y/x$ khi $y/x$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên, và $\mu_D(x, y) = 0$ trong các trường hợp khác. (Bằng cách áp dụng c), rút gọn về trường hợp $m$ là một lũy thừa của một số nguyên tố.)

e) Giả sử rằng tập hợp có thứ tự $L$ được sắp thứ tự thành dàn. Gọi $a, b, c$ là các phần tử phân biệt của $L$ sao cho $a \leq b \leq c$, và gọi $\Phi$ là tập hợp các $x \in L$ sao cho $a \leq x$ và $\sup(x, b) = c$, còn $\Psi$ là tập hợp tương ứng được xác định bởi $y \leq c$ và $\inf(y, b) = a$. Chứng minh rằng ta có quan hệ

f) Cho $T$ là một tập hợp hữu hạn và $\mathscr{R}(T)$ là tập hợp các quan hệ tương đương trên $T$, được sắp thứ tự bởi quan hệ « $R$ mịn hơn $S$ », ký hiệu $R \leq S$. Chứng minh rằng $\mathscr{R}(T)$ được sắp thứ tự thành dàn. Cho $R, S$ trong $\mathscr{R}$ sao cho $R \leq S$; gọi $U_1, \ldots, U_k$ là các lớp tương đương theo $S$ và với $1 \leq i \leq k$, gọi $\alpha_i$ là số các lớp tương đương theo $R$ được chứa trong $U_i$. Chứng minh rằng

(nếu $A_i$ là tập hợp các lớp tương đương theo $R$ được chứa trong $U_i$, hãy nhận thấy rằng khoảng $(R, S)$ của $\mathscr{R}(T)$ đẳng cấu với $\mathscr{R}(A_1) \times \ldots \times \mathscr{R}(A_r)$, áp dụng c) và rút gọn về trường hợp $R$ là phần tử nhỏ nhất của $\mathscr{R}(T)$ và $S$ là phần tử lớn nhất; xét trường hợp cuối cùng này bằng cách dùng e)).