Exercice 15, § 6

Soit $T$ un ensemble fini à $k$ éléments. On note $D_k$ l’ensemble des éléments $(\alpha_1, ..., \alpha_k)$ de $\mathbf{N}^k$ tels que $\alpha_1 + \cdots + \alpha_k = k$ et $\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_k$. À toute relation d’équivalence $R$ dans $T$, on associe un élément $\lambda(R)$ de $D_k$ comme suit : si $U_1, ..., U_l$ sont les classes d’équivalence selon $R$, numérotées de sorte que $\mathrm{Card}(U_1) \geq \cdots \geq \mathrm{Card}(U_l)$, on pose $\lambda(R) = (\alpha_1, ..., \alpha_k)$ avec $\alpha_i = \mathrm{Card}(U_i)$ si $1 \leq i \leq l$ et $\alpha_i = 0$ si $l < i \leq k$. Soient $X_n$ ($n \in \mathbf{N}$) des indéterminées. Pour tout $R \in \mathscr{R}(T)$, on pose $r(R) = \sum_f \prod_{t \in T} X_{f(t)}$, où la sommation est étendue à l’ensemble des applications $f : T \to \mathbf{N}$ telles que $R$ soit la relation d’équivalence associée à $f$. On pose $s(R) = \sum_{S \geq R} r(S)$.

a) Prouver que l’on a $r(R) = \prod_{i=1}^k r_i \cdot M(\lambda(R))$ si $r_i$ des classes d’équivalence suivant $R$ sont de cardinal $i$ pour $1 \leq i \leq k$.

b) Prouver la relation $s(R) = \prod_{i=1}^k p_i^{r_i}$, où les $r_i$ sont comme dans a) et $p_m = \sum_{n \in \mathbf{N}} X_n^m$ pour tout entier $m \geq 1$.

c) Montrer que l’on a $r(R) = \sum_{S \geq R} \mu(R, S) \ s(S)$, où $\mu(R, S)$ est défini comme dans l’exerc. 14.

d) En déduire une expression de $s_k$ comme polynôme à coefficients rationnels en $p_1, ..., p_k$, où $s_k = \sum_{i_1 < \ldots < i_k} X_{i_1} \ldots X_{i_k}$.

e) Pour $\alpha \in D_k$, posons $S'(\alpha) = \prod_{i=1}^k s_{\alpha_i}$. Montrer que l’on a $S'(\alpha) = \sum_{\beta \in D_k} c'_{\alpha \beta} \cdot M(\beta)$, où l’entier $c'_{\alpha \beta}$ se définit ainsi : supposons que $r_i$ (resp. $s_i$) des composantes de $\alpha$ (resp. $\beta$) soient égales à $i$ (pour $1 \leq i \leq k$). Alors $c'_{\alpha \beta}$ est le produit $N r_1! ... r_k! s_1! ... s_k! / k!$ où $N$ est le nombre de paires de relations d’équivalence $R, S$ dans $T$ telles que $\lambda(R) = \alpha, \lambda(S) = \beta$ et que l’intersection d’une classe d’équivalence suivant $R$ avec une classe d’équivalence suivant $S$ ait au plus un élément. En déduire la relation de symétrie $c'_{\alpha \beta} = c'_{\beta \alpha}$.

f) Montrer qu’il existe une involution $\alpha \mapsto \tilde{\alpha}$ dans $D_k$ caractérisée par le fait que les relations $i \leq \alpha_j$ et $j \leq \tilde{\alpha}_i$ soient équivalentes pour $i, j$ compris entre 1 et $k$. Montrer qu’on a $S'(\alpha) = S(\tilde{\alpha})$ et $c'_{\alpha \beta} = c_{\tilde{\alpha} \tilde{\beta}}$. En déduire la relation $c_{\alpha \beta} = c_{\tilde{\beta} \tilde{\alpha}}$ (avec les notations de IV, p. 62)..

Conventions (cf. page IV.62).

Un symbole tel que $p^\alpha \cdot q^\beta \ldots$, où $p, q, \alpha, \beta, \ldots$ sont des entiers $\geqslant 1$, désigne l’élément de $D_k$ où $k = p\alpha + q\beta + \cdots$ ayant $\alpha$ composantes égales à $p$, $\beta$ composantes égales à $q$, etc. Ainsi $3.1^2$ désigne l’élément de $D_5$ égal à $(3, 1, 1, 0, 0)$, tandis que $1^4$ désigne l’élément $(1, 1, 1, 1)$ de $D_4$.

A droite de la ligne d’indice $\alpha$ de la matrice C, on a donné l’expression de $S(\alpha)$ comme monôme en $s_1, \ldots, s_k$. Par exemple, pour $k = 3$ et $\alpha = 2.1$, on a

On a utilisé une convention analogue pour les colonnes de la matrice D. Par exemple pour $k = 4$ et $\alpha = 2^2$, on a Rappelons que $M(2^2)$ est la somme de tous les monômes de la forme $X_i^2 X_j^2$ pour $1 \leq i < j \leq n$ dans l’anneau $\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$.

Une case vide désigne un élément nul des matrices C et D.

$k = 2$ $S_1^2$ $S_2$ $k = 3$ $S_1^3$ $S_1 S_2$ $S_3$ $k = 4$ $S_1^4$ $S_1^2 S_2$ $S_2^2$ $S_1 S_3$ $S_4$

Matrices C

$k = 2$ $S_1^2$ $S_2$ $k = 3$ $S_1^3$ $S_1 S_2$ $S_3$ $k = 4$ $S_1^4$ $S_1^2 S_2$ $S_2^2$ $S_1 S_3$ $S_4$

Matrices D k = 5

<table> <tr> <th></th> <th>5</th> <th>4.1</th> <th>3.2</th> <th>3.1^2</th> <th>2^2.1</th> <th>2.1^3</th> <th>1^5</th> </tr> <tr> <td>5</td> <td>1</td> <td>5</td> <td>10</td> <td>20</td> <td>30</td> <td>60</td> <td>120</td> <td>S_1^5</td> </tr> <tr> <td>4.1</td> <td></td> <td>1</td> <td>3</td> <td>7</td> <td>12</td> <td>27</td> <td>60</td> <td>S_1^3 S_2</td> </tr> <tr> <td>3.2</td> <td></td> <td></td> <td>1</td> <td>2</td> <td>5</td> <td>12</td> <td>30</td> <td>S_1 S_2^2</td> </tr> <tr> <td>3.1^2</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td>1</td> <td>2</td> <td>7</td> <td>20</td> <td>S_1^2 S_3</td> </tr> <tr> <td>2^2.1</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td>1</td> <td>3</td> <td>10</td> <td>S_2 S_3</td> </tr> <tr> <td>2.1^3</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td>1</td> <td>5</td> <td>S_1 S_4</td> </tr> <tr> <td>1^5</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td>1</td> <td>S_5</td> </tr> </table>

Matrice C

<table> <tr> <th></th> <th>5</th> <th>4.1</th> <th>3.2</th> <th>3.1^2</th> <th>2^2.1</th> <th>2.1^3</th> <th>1^5</th> </tr> <tr> <td>5</td> <td>1</td> <td>-5</td> <td>5</td> <td>5</td> <td>-5</td> <td>-5</td> <td>5</td> </tr> <tr> <td>4.1</td> <td></td> <td>1</td> <td>-3</td> <td>-1</td> <td>5</td> <td>1</td> <td>-5</td> </tr> <tr> <td>3.2</td> <td></td> <td></td> <td>1</td> <td>-2</td> <td>-1</td> <td>5</td> <td>-5</td> </tr> <tr> <td>3.1^2</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td>1</td> <td>-2</td> <td>-1</td> <td>5</td> </tr> <tr> <td>2^2.1</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td>1</td> <td>-3</td> <td>5</td> </tr> <tr> <td>2.1^3</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td>1</td> <td>-5</td> </tr> <tr> <td>1^5</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td>1</td> </tr> </table>

S_1^5 S_1^3 S_2 S_1 S_2^2 S_1^2 S_3 S_2 S_3 S_1 S_4 S_5 Matrice D