Bài tập 15, § 6

Cho $T$ là một tập hợp hữu hạn có $k$ phần tử. Ta ký hiệu bởi $D_k$ tập hợp các phần tử $(a_1, \ldots, a_k)$ của $\mathbf{N}^k$ sao cho $a_1 + \ldots + a_k = k$ và $a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_k$. Với mỗi quan hệ tương đương R trong T, ta liên kết một phần tử $\lambda(R)$ của $D_k$ như sau: nếu $U_1, ..., U_l$ là các lớp tương đương theo R, được đánh số sao cho $\mathrm{Card}(U_i) \geq ... \geq \mathrm{Card}(U_l)$, đặt $\lambda(R) = (\alpha_1, ..., \alpha_k)$ với $\alpha_i = \mathrm{Card}(U_i)$ nếu $1 \leq i \leq l$ và $\alpha_i = 0$ nếu $1 < i \leq k$. Gọi $X_n$ ($n \in \mathbf{N}$) là các ẩn; với mỗi $R \in \mathscr{H}(T)$ đặt $r(R) = \sum_{f} \prod_{i \in I} X_{f(i)}$, trong đó phép lấy tổng được mở rộng trên tập hợp các ánh xạ $f : T \to \mathbf{N}$ sao cho R là quan hệ tương đương liên kết với $f$. Đặt $s(R) = \sum_{S \neq R} r(S)$.

a) Chứng minh rằng $r(R) = \prod_{i=1}^{k} r_i . M(\lambda(R))$ nếu $r_i$ trong các lớp tương đương theo R có lực lượng i với $1 \leq i \leq k$. (Xem công thức (11) của IV, p. 65 về định nghĩa của $M(\alpha)$.)

b) Chứng minh hệ thức $S(R) = \prod_{i=1}^{k} p_i^{r_i}$ trong đó các $r_i$ như trong a) và $p_m = \sum_{n \in \mathbf{N}} X_n^m$ với mọi số nguyên $m \geq 1$.

c) Chỉ ra rằng $r(R) = \sum_{S \neq R} \mu(R, S) s(S)$, trong đó $\mu(R, S)$ được định nghĩa như trong Bài tập 14.

d) Từ đó suy ra một biểu thức của các $s_k$ như một đa thức theo $p_1, ..., p_k$ với các hệ số hữu tỉ, trong đó $s_k = \sum_{i_1 < ... < i_k} X_{i_1} ... X_{i_k}$.

e) Với $a \in D_k$ đặt $S'(\alpha) = \prod_{i=1}^{k} s_{\alpha_i}$. Chứng minh rằng $S'(\alpha) = \sum_{\beta \in D_k} c'_{\alpha \beta} . M(\beta)$, trong đó số nguyên $c'_{\alpha \beta}$ được định nghĩa như sau: giả sử rằng $r_i$ (tương ứng $s_i$) trong các thành phần của $a$ (tương ứng $\beta$) bằng i (với $1 \leq 1 \leq k$). Khi đó $c'_{\alpha \beta}$ là tích $Nr,!... r_k!s_1!... s_k!/k!$, trong đó N là số các cặp quan hệ tương đương R, S trên T sao cho $\lambda(R) = a, \lambda(S) = \beta$ và sao cho giao của một lớp tương đương theo R với một lớp tương đương theo S có nhiều nhất một phần tử. Suy ra quan hệ đối xứng $c'_{\alpha \beta} = c'_{\beta \alpha}$.

f) Chứng minh rằng tồn tại một phép đối hợp $a \mapsto \tilde{\alpha}$ trong $D_k$, được đặc trưng bởi tính chất rằng các quan hệ $i \leq a,$ và $j \leq \tilde{\alpha}_i$ là tương đương, với i, j chạy từ 1 đến k. Chứng minh rằng $S'(\alpha) = S(\tilde{\alpha})$ và $c'_{\alpha \beta} = c_{\tilde{\alpha} \tilde{\beta}}$. Từ đó suy ra quan hệ $c_{\alpha \beta} = c_{\tilde{\alpha} \tilde{\beta}}$ (với ký hiệu của IV, p. 66).

Quy ước (xem trang IV, 66).

Một ký hiệu như $p^\alpha \cdot q^\beta \ldots$, trong đó $p, q, \alpha, \beta, \ldots$ là các số nguyên $\geq 1$, biểu thị một phần tử của $D_k$ với $k = p\alpha + q\beta + \ldots$ có $\alpha$ thành phần bằng $p$, $\beta$ thành phần bằng $q$, v.v. Như vậy $3 \cdot 1^2$ biểu thị phần tử của $D_5$ bằng $(3, 1, 1, 0, 0)$, còn $1^4$ biểu thị phần tử $(1, 1, 1, 1)$ của $D_r$.

Ở bên phải hàng có chỉ số $\alpha$ của ma trận C, người ta cho biểu thức của $S(\alpha)$ như đơn thức theo $s_1, \ldots, s_k$. Ví dụ, với $k = 3$ và $\alpha = 2 . 1$ ta có

Chúng tôi đã dùng một quy ước tương ứng cho các cột của ma trận D. Ví dụ, với $k = 4$ và $\alpha = 2^2$ ta có

Nhắc lại rằng $M(2^2)$ là tổng của mọi đơn thức có dạng $X_i^2 X_j^2$ với $1 \leq i < j \leq n$ trong vành $\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$.

Một ô rỗng chỉ một phần tử không của các ma trận C và D.

k = 2 2 1^2 2 1 2 S_1^2 1^2 1 S_2

2 1^2 2 1 -2 1^2 1 S_1^2 S_2

k = 3 3 2.1 1^3 3 1 3 6 S_1^3 2.1 1 3 S_1 S_2 1^3 1 S_3

3 2.1 1^3 3 1 -3 3 2.1 1 -3 1^3 1 S_1^3 S_1 S_2 S_3

k = 4 4 3.1 2^2 2.1^2 1^4 4 1 4 6 12 24 S_1^4 3.1 1 2 5 12 S_1^2 S_2 2^2 1 2 6 S_2^2 2.1^2 1 4 S_1 S_3 1^4 1 S_4

Ma trận C

4 3.1 2^2 2.1^2 1^4 4 1 -4 2 4 -4 3.1 1 -2 -1 4 2^2 1 -2 2 2.1^2 1 -4 1^4 1

S_1^4 S_1^2 S_2 S_2^2 S_1 S_3 S_4 Ma trận D

BẢNG

k = 5 5 4.1 3.2 3.1^2 2^2.1 2.1^3 1^5 5 1 5 10 20 30 60 120 S_1^5 4.1 1 3 7 12 27 60 S_1^3 S_2 3.2 1 2 5 12 30 S_1 S_2^2 3.1^2 1 2 7 20 S_1^2 S_3 2^2.1 1 3 10 S_2 S_3 2.1^3 1 5 S_1 S_4 1^5 1 S_5

Ma trận C

5 4.1 3.2 3.1^2 2^2.1 2.1^3 1^5 5 1 -5 5 5 -5 -5 5 4.1 1 -3 -1 5 1 -5 3.2 1 -2 -1 5 -5 3.1^2 1 -2 -1 5 2^2.1 1 -3 5 2.1^3 1 -5 1^5 1

S_1^5 S_1^3 S_2 S_1 S_2^2 S_1^2 S_3 S_2 S_3 S_1 S_4 S_5 Ma trận D