Exercice 5, § 6

Soient $K$ un corps commutatif et $f \in K[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$; pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, on désigne par $\sigma f$ la fraction rationnelle

On dit que $f$ est symétrique par rapport aux couples $(X_i, Y_i)$ si $\sigma f = f$ pour tout $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. a) Pour tout élément $\nu = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \mu_1, \ldots, \mu_n)$ de $\mathbf{N}^{2n}$, et toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, on pose

le groupe $\mathfrak{S}_n$ étant ainsi considéré comme groupe d’opérateurs sur $\mathbf{N}^{2^n}$. Soit $\gamma$ une quelconque des orbites de $\mathfrak{S}_n$ dans $\mathbf{N}^{2^n}$; on désigne par $u_\gamma$ le polynôme symétrique

où $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \mu_1, \ldots, \mu_n)$ parcourt l’ensemble $\gamma$. Montrer que les polynômes $u_\gamma$ forment une base sur $K$ de l’espace vectoriel des polynômes symétriques par rapport aux $(X_i, Y_i)$. \* b) On suppose que $K$ est de caractéristique 0. Montrer que tout polynôme $u_\gamma$ est égal à un polynôme à coefficients rationnels par rapport aux fonctions symétriques (raisonner par récurrence sur le nombre de couples $(\lambda_i, \mu_i)$ qui ne sont pas égaux à $(0, 0)$ dans $v = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \mu_1, \ldots, \mu_n)$, en considérant les produits $u_\gamma v_{\lambda \mu}$). c) On appelle fonctions symétriques élémentaires des $(X_i, Y_i)$ les $n(n+3)/2$ polynômes $w_{hk} = u_\gamma$ correspondant aux orbites $\gamma$ des éléments $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \mu_1, \ldots, \mu_n)$ autres que $(0, \ldots, 0)$ et tels que $h$ des couples $(\lambda_i, \mu_i)$ soient égaux à $(1, 0)$, $k$ autres à $(0, 1)$ et les $n - h - k$ derniers à $(0, 0)$. Montrer que si $K$ est de caractéristique 0, tout polynôme symétrique par rapport aux $(X_i, Y_i)$ est égal à un polynôme, à coefficients dans $K$, par rapport aux fonctions symétriques élémentaires (considérer les sommes $\sum_{i=1}^n (UX_i + VY_i)^k$, où U et V sont deux indéterminées, et utiliser b)). d) Si $K$ est un corps de caractéristique 3, et si $n \geqslant 4$, montrer que $\sum_{i=1}^n X_i^2 Y_i^2$ n’est égal à aucun polynôme par rapport aux fonctions symétriques $w_{hk}$, à coefficients dans $K$).