Bài tập 5, § 6

Cho $K$ là một trường giao hoán và $f \in K[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$; với mọi phép hoán vị $\sigma \in S_n$, kí hiệu $\sigma f$ là phân thức hữu tỉ

Khi đó $f$ được gọi là đối xứng đối với các cặp $(X_i, Y_i)$ nếu $u f = f$ với mọi $\sigma \in S_n$. a) Với mọi phần tử $\nu = (A, \ldots, A, \mu_1, \ldots, \mu_n)$ của $\mathbf{N}^{2n}$ và mọi phép hoán vị $\sigma \in S_n$ viết

sao cho $\mathfrak{S}_n$ theo cách này trở thành một nhóm các toán tử trên $\mathbf{N}^{2^n}$. Cho $\gamma$ là một quỹ đạo bất kỳ của $\mathfrak{S}_n$ trong $\mathbf{N}^{2^n}$, và kí hiệu $u_\gamma$ là đa thức đối xứng

trong đó $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \mu_1, \ldots, \mu_n)$ chạy qua $\gamma$. Hãy chứng minh rằng các đa thức $u_\gamma$ tạo thành một cơ sở trên $K$ của không gian vectơ gồm mọi đa thức đối xứng trong các $(X_i, Y_i)$.

\* b) Giả sử rằng $K$ có đặc số 0. Hãy chứng minh rằng mọi đa thức $u_\gamma$ đều bằng một đa thức với hệ số hữu tỉ theo các hàm đối xứng

(chứng minh bằng quy nạp theo số cặp $(A_i, \mu_i)$ không bằng $(0, 0)$ trong $\nu = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \mu_1, \ldots, \mu_n)$ khi xét các tích $u, v_{\lambda \mu}$).

c) Bởi các hàm đối xứng sơ cấp của các $(X_i, Y_i)$, ta hiểu $n(n+3)/2$ đa thức $w_{hk} = u$, tương ứng với các quỹ đạo $\gamma$ của các phần tử $(A_i, \ldots, A_i, \mu_1, \ldots, \mu_n)$ khác $(0, \ldots, 0)$ và sao cho h trong số các cặp $(\lambda_i, \mu_i)$ bằng $(1, 0)$, k cặp khác bằng $(0, 1)$ và $n - h - k$ cặp còn lại bằng $(0, 0)$. Hãy chứng minh rằng nếu $K$ có đặc số 0, thì mọi đa thức đối xứng trong các $(X_i, Y_i)$ đều bằng một đa thức theo các hàm đối xứng sơ cấp với hệ số trong $K$ (xét các tổng $\sum_{i=1}^n (UX_i + VY_i)^k$, trong đó U và V là hai ẩn, và dùng b)).

d) Nếu $K$ là một trường có đặc số 3, và $n \geq 4$, hãy chứng minh rằng $\sum_{i=1}^n X_i^2 Y_i^2$ không bằng bất kỳ đa thức nào theo các hàm đối xứng $w_{hk}$ với hệ số trong $K$. \*