Exercice 6, § 6

Soit $n$ un entier $\geqslant 1$. Soient $X_1, \ldots, X_n$ des indéterminées. Pour $1 \leqslant j \leqslant n$, soit $s_j$ le polynôme symétrique élémentaire de degré $j$ en les $X_i$ et $u_j = (-1)^{j+1} s_j$. Posons

et, pour tout $k \geqslant 1$, $p_k = \sum_{i=1}^n X_i^k$; montrer que l’on a la sommation étant étendue à tous les systèmes $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ d’entiers $\geqslant 0$ tels que $\lambda_1 + 2\lambda_2 + \cdots + n\lambda_n = k$, et le coefficient $a_{\lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_n}$ étant égal à (développer $S'(T)/S(T)$ en série formelle de puissances de $T$).