Bài tập 6, § 6

Đại số, IV, p. 99

Cho $n$ là một số nguyên $\geq 1$ , và cho $X_1, \ldots, X_n$ là các bất định. Với $1 \leq j \leq n$ gọi $s_j$ là đa thức đối xứng sơ cấp bậc $j$ theo các $X_i$ và $u_j = (-1)^{j+1} s_j$ . Đặt

S(T) = \prod_{i=1}^n (1 - X_i T) = 1 - \sum_{j=1}^n u_j T^j

và với mỗi $k \geq 1$ đặt $p_k = \sum_{i=1}^n X_i^k$ ; hãy chứng minh rằng

p_k = \sum a_{\lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_n} u_1^{\lambda_1} u_2^{\lambda_2} \ldots u_n^{\lambda_n}

trong đó phép lấy tổng được mở rộng trên mọi hệ $(A_i, \ldots, A_i)$ số nguyên $\geq 0$ sao cho $\lambda_1 + 2\lambda_2 + \ldots + n\lambda_n = k$ , và hệ số $a_{\lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_n}$ bằng

\frac{k(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n - 1)!}{\lambda_1! \lambda_2! \ldots A_n!}

(hãy khai triển chuỗi $S'(T)/S(T)$ thành một chuỗi lũy thừa hình thức theo $T$ ).

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.