Exercice 8, § 6

Algèbre, IV, p. 93

On pose

s_k = \sum A_{m_1 \ldots m_n} p_1^{m_1} \ldots p_n^{m_n},

où les

A_{m_1 \ldots m_n}

sont des nombres rationnels, et où la somme est étendue aux familles

(m_1, \ldots, m_n)

telles que

\sum i \cdot m_i = k

. Montrer que l’on a

\sum A_{m_1 \ldots m_n} = 0

pour

k > 1

, et

\sum |A_{m_1 \ldots m_n}| = 1

pour

k \geqslant 1

. En déduire que, si l’on pose

q_j = -p_j

, on a

(-1)^k s_k = \sum |A_{m_1 \ldots m_n}| q_1^{m_1} \ldots q_n^{m_n}.

Solution

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