Exercice 1, § 10

a) Soient K un corps, f un polynôme séparable de K[X], N un corps de décomposition de f. Montrer que pour que le groupe Gal(N/K) opère transitiement sur l’ensemble des racines de f dans N, il faut et il suffit que f soit irréductible dans K[X]. b) On suppose en outre f irréductible dans K[X] ; soit x une racine de f dans N. Pour qu’il n’existe aucun corps E tel que K ⊂ E ⊂ K(x), distinct de K et de K(x), il faut et il suffit que le groupe Gal(N/K), considéré comme groupe transitif de permutations de l’ensemble des racines de f dans N, soit primitif (I, p. 131, exerc. 13).