Exercice 11, § 10

a) Soient E une extension séparable d’un corps K, de degré fini, N l’extension galoisienne de K engendrée par E. Si α est un élément de N dont les conjugués forment une base normale de N sur K, et si β = Tr_{N/E}(α), montrer que E = K(β). b) Soient N une extension galoisienne de K, de degré fini, et soit α un élément de N dont les conjugués forment une base normale sur K. Si L est une sous-extension de N, galoisienne sur K, et si β = Tr_{N/L}(α), montrer que les conjugués de β forment une base normale de L sur K. c) Soient L, M deux extensions galoisiennes de K, de degré fini, telles que L ∩ M = K ; soit α (resp. β) un élément de L (resp. M) dont les conjugués sur K forment une base normale de L (resp. M) sur K ; montrer que les conjugués sur K de αβ forment une base normale de K(L ∪ M).